এইচএসসি পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র: ৮ম অধ্যায় 'পর্যায়বৃত্ত গতি' সরল দোলক, পাহাড়ের উচ্চতা, স্প্রিং ধ্রুবক ও সৃজনশীল বোর্ড সমাধান ২০২৬

উচ্চ মাধ্যমিক (এইচএসসি) পরীক্ষায় পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রে নিশ্চিত এ প্লাস (A+) পাওয়ার জন্য যে কয়েকটি অধ্যায়কে গোল্ডেন অপরচুনিটি বলা হয়, তার মধ্যে ৮ম অধ্যায় 'পর্যায়বৃত্ত গতি' (Periodic Motion) অন্যতম। ঢাকা, রাজশাহী, চট্টগ্রাম, কুমিল্লা, দিনাজপুরসহ সকল শিক্ষা বোর্ডের বিগত ৫ বছরের প্রশ্নপত্র পুঙ্খানুপুঙ্খ বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, বোর্ড পরীক্ষার লিখিত অংশে 'ক' বিভাগ থেকে এই একটি অধ্যায় থেকেই অবধারিতভাবে অন্তত ১টি এবং কোনো কোনো বোর্ডে ২টি পূর্ণাঙ্গ সৃজনশীল প্রশ্ন (১০ থেকে ২০ নম্বর) সরাসরি কমন পড়ে। এছাড়া বহুনির্বাচনি (MCQ) অংশে ৩ থেকে ৫টি প্রশ্ন নিশ্চিত থাকে।

অধ্যায়টির বিশেষত্ব হলো—এখানে কোনো অস্পষ্ট বা বিতর্কিত তাত্ত্বিক প্যাঁচ নেই। সরল দোলকের সূত্র, পাহাড়ের উচ্চতা বা খনির গভীরতায় সেকেন্ড দোলকের সময় হ্রাস-বৃদ্ধি, স্প্রিংয়ের শ্রেণী ও সমান্তরাল সমবায় এবং সরল ছন্দিত স্পন্দনে শক্তির সংরক্ষণশীলতার ৪-৫টি নির্দিষ্ট সূত্রের সঠিক প্রয়োগ জানলেই পূর্ণ ১০ এ ১০ নম্বর তোলা যায়। একজন দায়িত্বশীল সিনিয়র ও ফিজিক্স মেন্টর হিসেবে আজ আমি ২০২৬ সালের হালনাগাদ বোর্ড সিলেবাস অনুযায়ী এই অধ্যায়ের প্রতিটি মূল থিওরি, শর্টকাট টেকনিক ও একটি পূর্ণাঙ্গ বোর্ড স্ট্যান্ডার্ড সৃজনশীল প্রশ্ন নিখুঁতভাবে সমাধান করে বুঝিয়ে দেব, যাতে পরীক্ষার হলে কোনো ক্যালকুলেশন তোমাকে আটকাতে না পারে:

১. পর্যায়বৃত্ত গতি ও সরল ছন্দিত স্পন্দন (SHM): মৌলিক সংজ্ঞা ও সমীকরণ

কোনো গতিশীল কণার গতি যদি এমন হয় যে, এটি তার গতিপথের কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুকে একটি নির্দিষ্ট সময় পর পর একই দিক থেকে অতিক্রম করে, তবে সেই গতিকে পর্যায়বৃত্ত গতি (Periodic Motion) বলে। যেমন: ঘড়ির কাঁটার গতি, সূর্যের চারদিকে পৃথিবীর আবর্তন।

আর যদি পর্যায়বৃত্ত গতিসম্পন্ন কোনো কণার ত্বরণ তার সাম্যাবস্থা থেকে সরণের সমানুপাতিক এবং সর্বদা সাম্যাবস্থামুখী হয়, তবে তাকে সরল ছন্দিত স্পন্দন (Simple Harmonic Motion - SHM) বলে।

সরল ছন্দিত স্পন্দনের ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ ও সাধারণ সমাধান:

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0

কণার সরণের সাধারণ সমীকরণ: x = A \sin(\omega t + \delta)

• A (বিস্তার / Amplitude): সাম্যাবস্থা থেকে কণার সর্বোচ্চ সরণ।
• \omega (কৌণিক কম্পাঙ্ক / Angular Frequency): \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{m}} (একক: rad/s)।
• \delta (আদি দশা / Epoch): সময় গণনা শুরুর মুহূর্তে (t = 0) কণার প্রাথমিক দশা।

২. বেগ ও ত্বরণের সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন মান (MCQ ও 'খ' এর জন্য সুপার হট)

সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কণার যেকোনো সরণ x-এ বেগ ও ত্বরণের সমীকরণ নিম্নরূপ:

রাশি	সাধারণ সমীকরণ	সাম্যাবস্থানে মান (x = 0)	প্রান্তবিন্দুতে মান (x = ±A)
সরণ (x)	x = A \sin(\omega t)	সর্বনিম্ন (x = 0)	সর্বোচ্চ (x = ±A)
বেগ (v)	v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}	সর্বোচ্চ: v_{\max} = \omega A	সর্বনিম্ন: v = 0
ত্বরণ (a)	a = -\omega^2 x	সর্বনিম্ন: a = 0	সর্বোচ্চ: a_{\max} = \omega^2 A

৩. সরল দোলক ও সেকেন্ড দোলক (Simple Pendulum Formulas)

একটি ভারী আয়তনহীন বস্তুকণাকে একটি অপ্রসারণশীল, ওজনহীন ও সম্পূর্ণ নমনীয় সুতা দিয়ে ঝুলিয়ে দিলে তা যদি ঘর্ষণহীনভাবে দুলতে পারে, তাকে সরল দোলক বলে। কৌণিক বিস্তার ৪ ডিগ্রির মধ্যে থাকলে এর পর্যায়কালের মূল সূত্র:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

যেখানে, কার্যকর দৈর্ঘ্য L = l + r (সুতার দৈর্ঘ্য l + ববের ব্যাসার্ধ r), এবং g = অভিকর্ষজ ত্বরণ।

সেকেন্ড দোলকের বৈশিষ্ট্য:

যে সরল দোলকের পর্যায়কাল ঠিক ২ সেকেন্ড, তাকে সেকেন্ড দোলক বলে। অর্থাৎ এটি ১ সেকেন্ডে এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে যায় (একটি অর্ধ-দোলন সম্পন্ন করে)। সেকেন্ড দোলকের ক্ষেত্রে ভূপৃষ্ঠে (g = 9.8 m/s²) কার্যকর দৈর্ঘ্য হয় প্রায় L \approx 0.993 \ ext{ m} \approx 99.3 \ ext{ cm}।

৪. পাহাড়ের উচ্চতা ও সময় লাভ-ক্ষতির গাণিতিক মাস্টার ট্রিক

বোর্ড পরীক্ষায় 'ঘ' নম্বরে সবচেয়ে বেশি আসা প্রশ্ন হলো—একটি সেকেন্ড দোলককে পাহাড়ে নিয়ে গেলে দিনে কত সেকেন্ড ধীরে বা দ্রুত চলবে, এবং পাহাড়ের উচ্চতা কত?

সরাসরি বোর্ড শর্টকাট সূত্রাবলী:

আমরা জানি দিনে মোট সেকেন্ড = 86400 সেকেন্ড।

• যদি দোলকটি পাহাড়ের চূড়ায় দিনে n সেকেন্ড ধীরে চলে (সময় হারায়):
  পাহাড়ের চূড়ায় পর্যায়কাল: T' = \frac{2 \ imes 86400}{86400 - n}
• যদি দোলকটি দিনে n সেকেন্ড দ্রুত চলে (সময় লাভ করে):
  নতুন পর্যায়কাল: T' = \frac{2 \ imes 86400}{86400 + n}
• পাহাড়ের উচ্চতা (h) নির্ণয়ের সরাসরি সূত্র (যেখানে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R = 6400 km = 6.4 × 10⁶ m):
  h = R \left( \frac{T'}{T} - 1 \right) = R \left( \frac{86400}{86400 - n} - 1 \right) = R \left( \frac{n}{86400 - n} \right)

৫. স্প্রিং-ভর ব্যবস্থা: শ্রেণী ও সমান্তরাল সমবায়

একটি স্প্রিংকে বল F প্রয়োগ করে x পরিমাণ প্রসারিত করলে প্রত্যয়নী বল F = -kx, যেখানে k হলো স্প্রিং ধ্রুবক (Spring Constant, একক: N/m)। স্প্রিংয়ের পর্যায়কাল:

T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

স্প্রিংয়ের সমবায় (Combination of Springs):

• শ্রেণী সমবায় (Series): দুটি স্প্রিং একের পর এক যুক্ত থাকলে তুল্য স্প্রিং ধ্রুবক: \frac{1}{k_s} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \implies k_s = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}। (এখানে স্প্রিং দুর্বল হয়, পর্যায়কাল বাড়ে)।
• সমান্তরাল সমবায় (Parallel): দুটি স্প্রিং পাশাপাশি যুক্ত থাকলে তুল্য স্প্রিং ধ্রুবক: k_p = k_1 + k_2। (এখানে স্প্রিং দৃঢ় হয়, পর্যায়কাল কমে)।

৬. সরল ছন্দিত স্পন্দনে শক্তির নিত্যতা প্রমাণ

সাম্যাবস্থা থেকে x দূরত্বে স্পন্দনরত কণার:

• বিভবশক্তি (Potential Energy): E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2
• গতিশক্তি (Kinetic Energy): E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)
• মোট যান্ত্রিক শক্তি (Total Energy): E = E_p + E_k = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} k A^2 = \ ext{ধ্রুবক}

বিশেষ দ্রষ্টব্য (বোর্ড অনুধাবন): সাম্যাবস্থানে (x = 0) সম্পূর্ণ শক্তি গতিশক্তি (Ep = 0, Ek = Max), এবং সর্বোচ্চ বিস্তারে (x = ±A) সম্পূর্ণ শক্তি বিভবশক্তি (Ek = 0, Ep = Max)। কিন্তু গতিপথের যেকোনো বিন্দুতে মোট শক্তি সর্বদা ধ্রুবক থাকে, যা শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতিকে নিখুঁতভাবে সমর্থন করে।

৭. শীর্ষ বোর্ড স্ট্যান্ডার্ড পূর্ণাঙ্গ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

উদ্দীপক:

ভূপৃষ্ঠে একটি সেকেন্ড দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য 0.993 m এবং ববের ভর 200 g। দোলকটিকে একটি পাহাড়ের চূড়ায় নিয়ে গেলে দেখা গেল এটি দিনে 120 সেকেন্ড ধীরে চলে। পরবর্তীতে দোলকটিকে ভূপৃষ্ঠে এনে 0.08 m বিস্তারে সরল ছন্দিত গতিতে দুলতে দেওয়া হলো। (পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R = 6400 km, ভূপৃষ্ঠে g = 9.8 m/s²)।

প্রশ্ন (গ): পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান (g') নির্ণয় করো। [৩ নম্বর]

প্রশ্ন (ঘ): উদ্দীপকের আলোকে সাম্যাবস্থা থেকে কত দূরত্বে দোলকটির গতিশক্তি তার বিভবশক্তির এক-তৃতীয়াংশ হবে—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো। [৪ নম্বর]

(গ) নং প্রশ্নের নিখুঁত সমাধান:

দেওয়া আছে:
ভূপৃষ্ঠে সেকেন্ড দোলকের পর্যায়কাল, T = 2 \ ext{ s}
ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 \ ext{ m/s}^2
দোলকটি পাহাড়ে দিনে 120 সেকেন্ড ধীরে চলে (n = 120 s)।
আমরা জানি, ১ দিন = 86400 \ ext{ s}।

পাহাড়ের চূড়ায় পর্যায়কাল, T' = \frac{2 \ imes 86400}{86400 - n} = \frac{172800}{86400 - 120} = \frac{172800}{86280} \approx 2.00278 \ ext{ s}

যেহেতু দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য L অপরিবর্তিত থাকে, তাই সরল দোলকের সূত্রানুসারে:
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} এবং T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}

অনুপাত করে পাই:
\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} \implies \left(\frac{T'}{T}\right)^2 = \frac{g}{g'} \implies g' = g \ imes \left(\frac{T}{T'}\right)^2

মান বসিয়ে পাই:
g' = 9.8 \ imes \left(\frac{2}{2.00278}\right)^2 = 9.8 \ imes (0.99861)^2 = 9.8 \ imes 0.99722 \approx 9.7728 \ ext{ m/s}^2

উত্তর: পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান 9.773 m/s²।

(ঘ) নং প্রশ্নের নিখুঁত সমাধান:

দেওয়া আছে:
বিস্তার, A = 0.08 \ ext{ m}
ধরি, সাম্যাবস্থা থেকে x দূরত্বে গতিশক্তি (Ek) বিভবশক্তির (Ep) এক-তৃতীয়াংশ (\frac{1}{3}) হবে।

শর্তমতে,
E_k = \frac{1}{3} E_p

আমরা জানি,
গতিশক্তি, E_k = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)
বিভবশক্তি, E_p = \frac{1}{2} k x^2

সমীকরণে মান বসিয়ে পাই:
\frac{1}{2} k (A^2 - x^2) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} k x^2 \right)

উভয়পক্ষ থেকে \frac{1}{2}k বাদ দিয়ে পাই:
A^2 - x^2 = \frac{1}{3} x^2 \implies A^2 = x^2 + \frac{1}{3}x^2 = \frac{4}{3}x^2
\implies x^2 = \frac{3}{4} A^2 \implies x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} A

এখন A = 0.08 m বসিয়ে পাই:
x = \pm \frac{1.732}{2} \ imes 0.08 = \pm 0.866 \ imes 0.08 = \pm 0.06928 \ ext{ m} \approx \pm 6.93 \ ext{ cm}

মন্তব্য: সাম্যাবস্থা থেকে উভয় দিকে ± 0.0693 মিটার (বা 6.93 সেন্টিমিটার) দূরত্বে কণাটির গতিশক্তি তার বিভবশক্তির এক-তৃতীয়াংশ হবে।

৮. সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী (FAQ)

প্রশ্ন ১: একটি সেকেন্ড দোলকের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে এর নতুন দোলনকাল কত হবে?

উত্তর: আমরা জানি T \propto \sqrt{L}। সুতরাং দৈর্ঘ্য L থেকে 2L করা হলে পর্যায়কাল হবে T' = T \sqrt{2} = 2 \ imes 1.414 \approx 2.83 \ ext{ সেকেন্ড}।

প্রশ্ন ২: কৃত্রিম উপগ্রহে বা মহাশূন্যে সরল দোলকের দোলনকাল কত?

উত্তর: কৃত্রিম উপগ্রহের অভ্যন্তরে আপাত অভিকর্ষজ ত্বরণ g = 0। ফলে T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{0}} = \infty (অসীম)। অর্থাৎ উপগ্রহে সরল দোলক কোনো দোলন সম্পন্ন করবে না বা এটি স্থির থাকবে।

প্রশ্ন ৩: সরল ছন্দিত কণার কোন বিন্দুতে ত্বরণ শূন্য অথচ বেগ সর্বোচ্চ?

উত্তর: সাম্যাবস্থানে (x = 0) কণার ত্বরণ শূন্য হয়, কিন্তু বেগ সর্বোচ্চ (v = \omega A) থাকে।

"}

📌 সম্পর্কিত আরও পড়ুন:

• প্রতিরক্ষা মন্ত্রণালয় (MOD) ও বেসামরিক প্রতিরক্ষা নিয়োগ বিজ্ঞপ্তি ২০২৬: টেলিটকে আবেদনের নিয়ম ও সার্কুলার PDF
• ঘরে বসে কনটেন্ট রাইটিং শিখে ফ্রিল্যান্সিং শুরু করার বাস্তবমুখী গাইডলাইন